1.3. Operaciones en Sistemas Numéricos

1.3. Operaciones en Sistemas Numéricos

 

Aritmética binaria

La aritmética binaria es una parte esencial de todas las computadoras digitales y muchos otros sistemas digitales.

Adición binaria

Es una clave para la resta binaria, la multiplicación, la división. Hay cuatro reglas de suma binaria.

En el cuarto caso, una adición binaria está creando una suma de (1 + 1 = 10), es decir, 0 se escribe en la columna dada y un acarreo de 1 sobre la siguiente columna.

Ejemplo – Adición

Resta binaria

Sustracción y préstamo , estas dos palabras se utilizarán con mucha frecuencia para la resta binaria. Hay cuatro reglas de resta binaria.

Ejemplo - Resta

Multiplicación binaria

La multiplicación binaria es similar a la multiplicación decimal. Es más simple que la multiplicación decimal porque solo están implicados 0 y 1. Hay cuatro reglas de multiplicación binaria.

Ejemplo – Multiplicación

División binaria

La división binaria es similar a la división decimal. Se llama como el procedimiento de división larga.

Ejemplo - División

Aritmética Octal

Sistema de números octales

Las siguientes son las características de un sistema numérico octal.

·        Utiliza ocho dígitos, 0,1,2,3,4,5,6,7.

·        También se llama sistema de números base 8.

·        Cada posición en un número octal representa una potencia 0 de la base (8). Ejemplo: 8 ⁰

·        La última posición en un número octal representa una potencia x de la base (8). Ejemplo: 8 ^x donde x representa la última posición - 1.

Ejemplo

Número Octal - 12570 ₈

Cálculo del equivalente decimal -

Paso	Número octal	Número decimal
Paso 1	12570 8	((1 × 8 4 ) + (2 × 8 3 ) + (5 × 8 2 ) + (7 × 8 1 ) + (0 × 8 0 )) 10
Paso 2	12570 8	(4096 + 1024 + 320 + 56 + 0) 10
Paso 3	12570 8	5496 10

Nota: 12570 ₈ se escribe normalmente como 12570.

Adición octal

La siguiente tabla de adición octal le ayudará a manejar la adición octal.

Para usar esta tabla, simplemente siga las instrucciones utilizadas en este ejemplo: Agregue 6 ₈ y 5 ₈ . Localice 6 en la columna A y luego ubique 5 en la columna B. El punto en el área de "suma" donde se intersectan estas dos columnas es la "suma" de dos números.

68 + 58 = 138.

Ejemplo - Adición

Resta octal

La resta de números octales sigue las mismas reglas que la resta de números en cualquier otro sistema numérico. La única variación está en el número prestado. En el sistema decimal, tomas prestado un grupo de 10 ₁₀ . En el sistema binario, tomas prestado un grupo de 2 ₁₀ . En el sistema octal tomas prestado un grupo de 8 ₁₀ .

Ejemplo - Resta

Aritmética Hexadecimal

Sistema de números hexadecimales

Las siguientes son las características de un sistema numérico hexadecimal.

·        Utiliza 10 dígitos y 6 letras, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.

·        Las letras representan números que comienzan con 10. A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

·        También se llama sistema base número 16.

·        Cada posición en un número hexadecimal representa una potencia 0 de la base (16). Ejemplo - 16 ⁰

·        La última posición en un número hexadecimal representa una potencia x de la base (16). Ejemplo - 16 ^x donde x representa la última posición - 1.

Ejemplo

Número hexadecimal - 19FDE ₁₆

Cálculo del equivalente decimal -

Paso	Número hexadecimal	Número decimal
Paso 1	19FDE 16	((1 × 16 4 ) + (9 × 16 3 ) + (F × 16 2 ) + (D × 16 1 ) + (E × 160 )) 10
Paso 2	19FDE 16	((1 × 16 4 ) + (9 × 16 3 ) + (15 × 16 2 ) + (13 × 16 1 ) + (14 × 16 0 )) 10
Paso 3	19FDE 16	(65536 + 36864 + 3840 + 208 + 14) 10
Etapa 4	19FDE 16	106462 10

Nota: 19FDE ₁₆ normalmente se escribe como 19FDE.

Adición hexadecimal

La siguiente tabla de suma hexadecimal te ayudará enormemente a manejar la adición hexadecimal.

Para usar esta tabla, simplemente siga las instrucciones utilizadas en este ejemplo: agregue A ₁₆ y 5 ₁₆ . Localice A en la columna X luego localice el 5 en la columna Y. El punto en el área de "suma" donde se intersectan estas dos columnas es la suma de dos números.

A16 + 516 = F16.

Ejemplo - Adición

Resta hexadecimal

La resta de números hexadecimales sigue las mismas reglas que la resta de números en cualquier otro sistema numérico. La única variación está en el número prestado. En el sistema decimal, tomas prestado un grupo de 10 ₁₀ . En el sistema binario, tomas prestado un grupo de 2 ₁₀ . En el sistema hexadecimal tomas prestado un grupo de 16 ₁₀ .

Ejemplo - Resta

1.2. Conversiones entre Sistemas Numéricos

1.2. Conversiones entre Sistemas Numéricos

Conversión entre números decimales y binarios

Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.

Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 77₁₀ haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:

77 : 2 = 38 Resto: 1

38 : 2 = 19 Resto: 0

19 : 2 = 9 Resto: 1

9 : 2 = 4 Resto: 1

4 : 2 = 2 Resto: 0

2 : 2 = 1 Resto: 0

1 : 2 = 0 Resto: 1

y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

77₁₀ = 1001101₂

Ejercicio 1:

Expresa, en código binario, los números decimales siguientes:  191, 25, 67, 99, 135, 276

     i.         El tamaño de las cifras binarias

La cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del párrafo anterior, para representar el número 77, que en el sistema decimal está compuesto tan sólo por dos dígitos, han hecho falta siete dígitos en binario.

Para representar números grandes harán falta muchos más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 2⁸ = 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos.

Como regla general, con n dígitos binarios pueden representarse un máximo de 2ⁿ, números. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad menos, es decir, 2ⁿ – 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de 16 números, porque 2⁴ = 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 2⁴-1 = 15.

Ejercicio 2:

Averigua cuántos números pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más grande que puede escribirse en cada caso.

Ejercicio 3:

Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?

Convertir un número decimal a binario en C# (C-Sharp)

Código C#

Conversión de binario a decimal

El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.

Por ejemplo, para convertir el número binario 1010011₂ a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:

1*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 83

1010011₂ = 83₁₀

Ejercicio 4:

Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios:

110111, 111000, 010101, 101010, 1111110

Convertir un número binario a decimal en C# (C-Sharp)

 

Código C#

Conversión de un número decimal a octal

La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal 122₁₀ tendremos que hacer las siguientes divisiones:

122 : 8 = 15     Resto: 2

15 : 8 = 1           Resto: 7

1 : 8 = 0               Resto: 1

Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:

122₁₀ = 172₈

Ejercicio 5:

Convierte los siguientes números decimales en octales:  63₁₀,   513₁₀,   119₁₀

Convertir un número decimal a octal en C# (C-Sharp)

Código C#

Conversión octal a decimal

La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 237₈ a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito:

2*8² + 3*8¹ + 7*8⁰ = 128 + 24 + 7 = 159₁₀

237₈ = 159₁₀

Ejercicio 6:

Convierte al sistema decimal los siguientes números octales: 45₈,   125_8,   625₈

Convertir un número octal a decimal en C# (C-Sharp)

Código C#

Conversión de números binarios a octales y viceversa

Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemas decimal, binario y octal:

DECIMAL	BINARIO	OCTAL
0	000	0
1	001	1
2	010	2
3	011	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7

Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de conver­tir un número entre estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos bi­narios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.

Por ejemplo, para convertir el número binario 101001011₂ a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:

101₂ = 5₈

001₂ = 1₈

011₂ = 3₈

y, de ese modo: 101001011₂ = 513₈

Ejercicio 9:

Convierte los siguientes números binarios en octales: 1101101₂, 101110₂, 11011011₂, 101101011₂

La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dígitos: 

7₈ = 111₂

5₈ = 101₂

0₈ = 000₂

y, por tanto: 750₈ = 111101000₂

Ejercicio 10:

Convierte los siguientes números octales en binarios: 25₈, 372₈, 2753₈

Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa

Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:

DECIMAL	BINARIO	HEXADECIMAL
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "con­trayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 101001110011₂ bastará con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal:  

1010₂ = A₁₆

0111₂ = 7₁₆

0011₂ = 3₁₆

y, por tanto: 101001110011₂ = A73₁₆

En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:

101110₂ = 00101110₂ = 2E₁₆

Ejercicio 11:

Convierte a hexadecimales los siguientes números binarios:

1010100101011101010₂, 111000011110000₂, 1010000111010111₂

La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F6₁₆ hallaremos en la tabla las siguientes equivalencias:

1₁₆ = 0001₂

F₁₆ = 1111₂

6₁₆ = 0110₂

y, por tanto: 1F6₁₆ = 000111110110₂

Ejercicio 12:

Convierte a binario los números hexadecimales siguientes: 7A5D₁₆, 1010₁₆, 8F8F₁₆

Convertir un número decimal hexadecimal octal binario en - Visual Stuidio 2017 C# (C-Sharp)

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