4.3.1 Mini y maxi términos.

 

Minitérminos

Para una función booleana de n variables x1,...xn, un producto booleano en el que cada una de las n variables aparece una sola vez (negada o sin negar) es llamado minterms. Es decir, un minterms es una expresión lógica de n variables consistente únicamente en el operador conjunción lógica (AND) y el operador complemento o negación (NOT).

Por ejemplo, abc, ab'c y abc' son ejemplos de minterms para una función booleana con las tres variables a, b y c.

En general, uno asigna a cada minterm (escribiendo las variables que lo componen en el mismo orden), un índice basado en el valor binario del minterm. un término negado, como a' es considerado como el numero binario 0 y el término no negado a es considerado como un 1. Por ejemplo, se asociaría el número 6 con a b c'(1102), y nombraríamos la expresión con el nombre m6. Entonces m0 de tres variables es a'b'c'(0002) y m7 debería ser a bc(1112).

Función equivalente

Se puede observar que cada minterm solo devuelve 'verdadero' con una sola entrada de las posibles. Por ejemplo, el minterm 5, a b' c, es verdadero solo cuando a y c son ciertos y bes falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da resultado 1.

Si tenemos una tabla de verdad de una función lógica, es posible escribir la función como "suma de productos". Por ejemplo, dada la tabla de verdad

a b f(a, b)

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 0

Observamos que las filas con resultado 1 son la primera y la tercera, entonces podremos escribir f como la suma de los minterms m0 y m2.

Si queremos verificar esto:

f(a,b) = m0 + m2 = (a'b')+(ab')

Tendremos que la tabla de verdad de la función, calculándola directamente, será la misma.

Maxitérminos

Un maxterm es una expresión lógica de n variables que consiste únicamente en la disyunción lógica y el operador complemento o negación. Los maxterms són una expresión dual de los minterms. En vez de usar operaciones AND utilizamos operaciones OR y procedemos de forma similar.

Por ejemplo, los siguientes son maxterms:

a+b'+c

a'+b+c

El complemento de un minterm es su respectivo maxterm. Esto puede ser fácilmente verificado usando la Ley de Morgan. Por ejemplo:

m1' = M1

(a'b)' = a+b'

Para indexar maxterms lo haremos justo de la forma contraria a la que seguimos con los minterms. Se asigna a cada maxterm un índice basado en el complemento del número binario que representa (otra vez asegurándonos que las variables se escriben en el mismo orden, usualmente alfabético). Por ejemplo, podemos asignar M6 (Maxterm 6) al maxterm a'+b'+c. De forma similar M0 de tres variables debería ser a+b+c y M7 es a'+b'+c'.

Función equivalente

Se puede ver fácilmente que un maxterm sólo da como resultado un cero para una única entrada de la función lógica. Por ejemplo, el maxterm 5, a'+b+c', es falso solo cuando a y cson ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da como resultado un cero.

Si tenemos una tabla de verdad de una función lógica, es posible escribir la función como "producto de sumas". Por ejemplo, dada la tabla de verdad

a b f(a, b)

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 0

Observamos que las filas que tiene como salida un 0 son la segunda y la cuarta, entonces podemos escribir f como un producto de maxterms M1 y M3.

Si queremos verificar esto:

f(a,b) = M1 M3 = (a+b')(a'+b')

Tendremos que la tabla de verdad de la función, calculándola directamente, será la misma.

Mapa de Karnaugh

Otra manera de simplificar funciones es representándolas en mapas de Karnaugh. Esto es equivalente a resolver las simplificaciones por teoremas. Sin embargo, mucha gente considera que resulta más fácil visualizar las simplificaciones si se presentan gráficamente.
Los mapas de Karnaugh pueden aplicarse a dos, tres, cuatro y cinco variables. Para más variables, la simplificación resulta tan complicada que conviene en ese caso utilizar teoremas mejor. Para efectos de clase, veremos las simplificaciones de dos, tres y cuatro variables.

MÉTODO DE REDUCCIÓN DE MAPAS DE KARNAUGH

El Álgebra de Boole, resuelve problemas que dependiendo del número de términos que tenía la función canónica, siendo el número de compuertas lógicas utilizadas  igual al número de términos obtenidos MÁS UNO; por lo tanto, los circuitos obtenidos son de dos niveles de conmutación con un tiempo mínimo de retardo, pero que de ninguna manera es el más sencillo ni el más económico.

    Los mapas de Karnaugh es uno de los métodos más prácticos. Se puede decir que es el más poderoso, cuando el número de variables de entrada es menor o igual a seis; más allá, ya no es tan práctico. En general, el mapa de Karnaugh se considera como la forma gráfica de una tabla de verdad o como una extensión del diagrama de Venn.

   Antes de explicar cómo se utiliza el mapa de Karnaugh en la minimización de funciones, veremos cómo se obtiene el mapa. Esto nace de la representación geométrica de los números binarios. Un número binario de n bits, puede representarse por lo que se denomina un punto en un espacio N. Para entender lo que se quiere decir con esto, considérese el conjunto de los números binarios de un bit, es decir 0 o 1. Este conjunto puede representarse por dos puntos en un espacio 1; esto es, por dos puntos unidos por una línea.

 



Introducción de método de Quine-McCluskey

En matemáticas las expresiones booleanas se simplifican por numerosas razones:

- Una expresión más simple es más fácil de entender y tiene menos posibilidades de error a la hora de su interpretación.

- Una expresión simplificada suelen ser más eficiente y efectiva cuando se implementan en la práctica, como en el caso de circuitos eléctricos o en determinados algoritmos.

El método de Quine-McCluskey es particularmente útil cuando se tienen funciones con un gran número de variables, no es el caso del método de Karnaugh, que se hace impracticable con más de cinco variables. En nuestro caso, como el máximo número de variables será cuatro podremos utilizar conjuntamente ambos métodos.

Una expresión booleana se compone de variables y términos. Para este método las variables sólo podrán tener un valor numérico de cero (el correspondiente al valor de verdad false) o uno (el correspondiente al valor de verdad true) y se designarán mediante una letra.

Como notación se designará x si la variable contiene el valor uno, x’ en caso deque contenga el valor cero.

Por otra parte, las variables se relacionarán entre sí únicamente mediante operaciones lógicas and para formar términos y mediante or para relacionarse con otros términos constituyendo una suma de productos. Ésta debe de ser canónica, es decir:

- Cada variable se usa una vez en cada término. A dichos términos se les llama términoscanónicos.

 P.ejemplo f(x,y,j) = x’y z +x y’z

 x’y z se representa con 011, donde x = 0, y = 1, z = 1

 x y’z se representa con 101, donde x = 1, y = 0, z = 1

Circuito Combinacional

Un circuito combinacional, como su nombre lo sugiere es un circuito cuya salida depende solamente de la combinación de sus entradas en el momento que se está realizando la medida en la salida.

Analizando el circuito, con compuertas digitales, que se muestra a continuación, se puede ver que la salida de cada una de las compuertas que se muestra depende únicamente de sus entradas.

La salida F variará si alguna de las entradas A o B o las dos a la vez cambian.